1.2 Cinemática: A matemática do movimento - Primeira Parte: MRU, MRUV e MQL

A Matemática do Movimento

A Cinemática estuda o “como” o movimento se processa; através de relações de grandezas (posição, deslocamento, velocidades, aceleração, frequência, etc.) ela procura determinar o comportamento (mais precisamente os dados deste comportamento) com o fim de prever como ele se dá. Isso vai desde uma órbita planetária a um complexo sistema de engrenagens.

Conceitos importantes

Precisamos antes de trabalhar um pouco, como de praxe, definir alguns termos para uma melhor comunicação.

Posição (S)

Nada mais é do que um ponto, sem qualquer dimensão, em que se localiza algo, seja um móvel ou um local apenas; tenha-a como as marcações de uma régua.

É importante que se acostume com posição negativa. Sim negativa! Isto porque para determinarmos uma posição qualquer, antes precisamos determinar um marco, um ponto onde dizemos “aqui é o zero”; assim a posição S=1 estará a distância de uma unidade do zero (que chamamos de origem), e a posição S=-1 estará a mesma distância, porém do outro lado (no sentido posto):

Portanto, como para indicarmos a posição precisamos e uma orientação, a posição é uma grandeza vetorial.

Deslocamento ()

Trata-se de um espaço, e não mais um ponto, de um comprimento, altura, largura, enfim, independentemente da direção ou sentido de que trata a situação. O deslocamento trata-se, portanto, de uma variação na posição de algo; assim, é definido pela diferença entre a posição final pela inicial, necessariamente:

Veja que quando o deslocamento for positivo, necessariamente o movimento se deu no sentido positivo, e se o deslocamento for negativo, necessariamente o movimento se deu no sentido negativo:

Velocidade ()

A velocidade trata-se de uma grandeza vetorial, que além de indicar a taxa com que um móvel percorre uma dada distância com o passar do tempo, aponta a direção e o sentido do movimento. Matematicamente é dado por:

Perceba que a afirmação anterior de que o deslocamento indica o sentido do movimento é a razão pela qual a velocidade também o faz, pois o que determina o seu sinal é o próprio sinal do deslocamento (já que não se trabalha com Dt negativos, pois implica em voltar ao passado).

Aceleração ()

A aceleração trata-se de uma grandeza vetorial, que além de descrever a variação ocorrida na velocidade de um móvel, indica a orientação da força exercida sobre este para acelerar (ou frear)

Repare que uma aceleração positiva implica num aumento de velocidade, e negativa numa diminuição dela (frenagem):

No MRU, como a velocidade não varia, a aceleração é zero!

MRU – Movimento Retilíneo Uniforme

O mais simples (e por isso inicial) estudo da Cinemática se dá com o MRU, sigla de Movimento Retilíneo Uniforme, que se trata do comportamento de móveis em equilíbrio inercial: movendo-se infinitamente em linha reta, sem variar a velocidade – característica máxima do MRU.

Ao observarmos a equação que define a velocidade, vemos que se tivermos duas das grandezas que a formam, podemos determinar a outra. Porém um modo especial com que esta equação pode-se apresentar é numa função matemática que relaciona a posição do móvel com o passar do tempo – a esta função denominamos Equação Horária da Posição (EHP):

Repare também que para se determinar o deslocamento em função do tempo, basta ajustar um termo da equação:

A EHP diz respeito a onde estará o móvel num dado instante de tempo, e não apenas o deslocamento num espaço de tempo. Fazendo um gráfico da relação posição versus tempo, no MRU, a EHP apresenta-se como uma função linear; note que quando a velocidade é positiva, o gráfico é crescente, do contrário, será decrescente:

   

MRUV – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

O segundo mais simples estudo da Cinemática se dá com o MRUV, sigla de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, que se trata do estudo do comportamento de situações em que a velocidade muda, porém, como o próprio nome diz, de modo uniforme, constante. A taxa com que a velocidade irá variar, mudar, é expressa pela aceleração (veja considerações acima).

Ao observarmos a equação que define a aceleração, vemos que se tivermos duas das grandezas que a formam, podemos determinar a outra. Porém um modo especial com que esta equação pode-se apresentar é numa função matemática que relaciona a velocidade do móvel com o passar do tempo – a esta função denominamos Equação Horária da Velocidade (EHV):

Da matemática Superior (vista em faculdade e em cursos técnicos), pode-se determinar, para o MRUV, a Equação Horária da Posição:

Repare também que para se determinar o deslocamento em função do tempo, basta ajustar um termo da equação:

Como no MRU, no MRUV a EHP também diz respeito a onde estará o móvel num dado instante de tempo, e não apenas o deslocamento num espaço de tempo. Fazendo um gráfico da relação posição versus tempo, no MRUV, a EHP apresenta-se como uma função de segundo grau (ou quadrática); note que quando a aceleração é positiva, a concavidade é virada para baixo, do contrário, para cima:

 [GRÁFICO]

Outra equação importante no MRUV é a denominada Equação de Torricelli, que se trata da “mescla” da EHV e a EHP do MRUV (para demonstração, clique aqui):

Tal equação permite determinarmos, sem informação de tempo,  qualquer grandeza nela relacionada (ou seja, velocidades, aceleração e posições/deslocamento).

Observações importantes no MRUV

Algo importante a reparar-se no MRUV é que a aceleração NÃO VARIA! Se variar, não se trata mais de MRUV. Caso ela seja nula, também não se trata de MRUV, mas de MRU – percebes?

Outra observação importante refere-se a dados que devemos compreendemos de informações sobre certo fenômeno. Por exemplo, quando se diz que algo foi “abandonado” para cair ou rolar numa rampa, significa que este algo possui velocidade inicial nula (vi = 0), pois o movimento foi impulsionado apenas pela gravidade, e não por um empurrão, por exemplo.

Outro ponto ainda a ser comentado: quando uma situação diz que algo se moveu freando até parar, subentende-se que a velocidade final é nula (vf = 0), e ainda que a aceleração é negativa.

MQL – Movimento em Queda Livre

Este outro movimento refere-se, como o próprio nome sugere, a quedas sem impedimentos, ou seja, movimentos em que a resistência do ar possa ser desprezada. Este caso, já adianto, é um tanto perfeito, ou seja, não verificamos muitos casos ao nosso redor que possamos relacionar com um MQL. Isso porque o ar que nos cerca exerce uma desaceleração considerável quando se está a uma velocidade muito grande, e não podemos, portanto simplesmente ignorá-lo. Veja, logo, que ao trabalharmos com MQL, estaremos trabalhando com situação que denominamos ideais, ou seja, que "fingimos" serem possíveis. Por quê? Porque para entendermos situações complexas, é interessante que verifiquemos como funcionam fenômenos mais simples primeiro. Certo?
O MQL trata-se de um MRUV cuja aceleração é sempre a gravitacional. Como a Terra atrai gravitacionalmente massas inversamente proporcional à distância com que tal massa se ecnotra do centro, este valor vai ser diferentes, um pouco, de pontos em diferentes altitudes. Mas de um modo geral, podemos usar a aproximação de 9,8 m/s2. Em alguns casos, apenas para podermos calcular mais rápido uma aproximação, usaremos o valor de 10 m/s2.
Como dito, o MQL nada mais é que o MRUV com aceleração constante e eigual a g, ou seja, 9,8 m/s2. Logo sua EHM será:
S(t) = S0 + v0.t -4,9.t2
Entendes porquê? Como a aceleração deve ser dividida por dois para encontramos a posição num MRUV, a nossa "sempre" aceleração o MQL 9,8 ficará pela metade: 9,8/2 = 4,9. O negativo significa que ela é orientada para baixo, o que é lógico, pois a Terra atrai tudo para baixo.
Assim, corpos descendo terão sua velocidade (negativas) aumentadas; corpos subindo terão sua velocidade (positivas) diminuídas.
Mas se é assim, ao imaginarmos - nessa alógica que acabei de te expor - um corpo que sobe tem sua velocidade diminuída. Até que ponto? Se ele sobre e depois cai, deve ter chegado a uma velocidade mínima para poder cair. Ora, então quanto chega no ápice da subida, sua velocidade é zero, ou seja, ele para antes de cair!
Analisemos o gráfico da função v(t) para o MQL:
v(t) = v0 - 9,8t
[Gráfico]
Observe que o gráfico cruza o eixo t. Se isto acontece, da Matemática sabemos que neste instante tx vx = 0.
Agora, verifique que anteriormente a este ponto, as velocidades eram positivas (acima do eixo horizontal t) e posteriormente negativas (abaixo do eixo horizontal t). Isso faz sentido? Sim! Verifica que na subida (sentido positivo) a velocidade é positiva, ou seja, sobe! Já na descida (sentido negativo) a velocidade é negativa, ou seja, desce! Esta leitura através de funções e gráficos nos revela a beleza de que os movimentos de fato falam Matemática!